TMO2022(H)

　$i$ 回回転して初めて並び方が最初と同じになるとき，その並べ方は周期が $i$ であると呼ぶことにする. 周期が $12,6,4,2$ になる並べ方をそれぞれ $a,b,c,d$ 通りとすると $$\begin{aligned} 12a+6b+4c+2d&={}_{12} \mathrm{C}_6=924 \\ 6b+2d&={}_6 \mathrm{C}_3=20 \\ 4c+2d&={}_4 \mathrm{C}_2=6 \\ 2d&={}_2 \mathrm{C}_1=2 \\ \end{aligned}$$ が成り立つ．これを解くと $a=75,b=3,c=1,d=1$ を得るから，答えは $75+3+1+1=\textbf{80}$ 通り．