TMO2022(C)

　$N$ の $10^i ~ (0\leq i \leq M-1)$ の位を$a_i$とすると， $$f(N)=\displaystyle\prod_{i=0}^{M-1}(1+a_i)-1$$ であることに注意せよ．$M=1$ のときすべてみたす．$M\geq 2$ のとき，任意の $i$ について $a_i\leq 8$ であるとすると $f(N)\lt N$ であることがわかる．すなわち，$a_i=9$ なる $i$ が存在するから，$N$ は $10$ で割って $9$ 余ることになる．すなわち $a_0=9$ であり，これを取り去ることで $M-1$ 桁の場合に帰着できる．以上より，求める $M$ 桁の整数 $n$ は $x\times10^{M-1}-1$（$x$ は $2\leq x \leq 10$ なる整数）と表せるものであり，特に答えは $9\times2022=\textbf{18198}$ である．