n+1n+1n+1 人目に "O" が伝わる確率を PnP_nPn とおくと， P0=1Pn+1=910Pn+110(1−Pn)=45Pn+110\begin{aligned}P_0&=1\\ P_{n+1}&=\dfrac{9}{10}P_n + \dfrac{1}{10}(1-P_n)=\dfrac{4}{5}P_n+\dfrac{1}{10} \end{aligned}P0Pn+1=1=109Pn+101(1−Pn)=54Pn+101
が成り立ち，これを解いて Pn=12(1+(45)n)P_n=\dfrac{1}{2}\Bigl(1+\Bigl(\dfrac{4}{5}\Bigr)^n\Bigr)Pn=21(1+(54)n) を得る．よって，Pn≤0.51P_n\leq 0.51Pn≤0.51 となる最小の正整数 nnn は 18\textbf{18}18 である．
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