OMCT002(E)

　$T_n$ の $3$ 頂点を $A_n,B_n,C_n$ としたとき, 内角について以下が容易に確かめられる.

• $T_n$ が鋭角三角形であるとき,$$\angle A_{n+1}=180^\circ-2\angle A_n,\ \ \angle B_{n+1}=180^\circ-2\angle B_n,\ \ \angle C_{n+1}=180^\circ-2\angle C_n.$$
• $T_n$ が鈍角三角形であるとき, 例えば $\angle A_n$ が鈍角であるならば,$$\angle A_{n+1}=2\angle A_n-180^\circ,\ \ \angle B_{n+1}=2\angle B_n,\ \ \angle C_{n+1}=2\angle C_n.$$

　これを踏まえれば, $T_1$ が正三角形となるような $T_0$ の内角は $(60^\circ,60^\circ,60^\circ)$ または $(120^\circ,30^\circ,30^\circ)$ である. またこれより, $T_2$ が初めて正三角形となるような $T_0$ の内角も以下のように列挙できる. $$(75^\circ,75^\circ,30^\circ),\quad (150^\circ,15^\circ,15^\circ),\quad (105^\circ,60^\circ,15^\circ)$$ ここで $T_1$ 以降はすべての内角の大きさが偶数値であることと併せて, $T_3$ 以降が初めて正三角形になる $T_0$ は存在しない. 以上より, 解答すべき値は $60+120+75+150+105=\textbf{510}$ である.