OMCT002(F)

　球に書かれた数を $x_i\ (i=1,2,\cdots,100)$ とし，これらを固定したとき得点の期待値を $E$ とする．このとき $$E=\frac{1}{{}_{100}\mathrm{P}_2}\sum_{i\neq j}\frac{x_i}{x_j}=\frac{1}{9900}\left\{\left(\sum_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)-100\right\}.$$ ここで $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)$ は各変数 $x_i$ に関して下凸関数になるから，残りの変数を固定したとき $E$ が最大となるのは $x_i$ が $1$ または $100$ のときである．したがって，$x_1,x_2,\cdots,x_{100}$ のうち $1$ であるものが $n$ 個，$100$ であるものが $100-n$ 個である場合を考えればよく，このとき $$\left(\sum_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)=\left(n+100(100-n)\right)\left( \frac{n}{1}+\frac{100-n}{100}\right)=\frac{99^2}{100}\left(\dfrac{10000}{99}-n\right)\left(n+\dfrac{100}{99}\right).$$ これが最大となるのは $$n=\frac{1}{2}\left(\frac{10000}{99}-\frac{100}{99}\right)=50$$ のときであり，このとき $$\displaystyle E=\frac{1}{9900}\left(5050\cdot\frac{101}{2}-100\right)=\frac{1}{9900}(505^2-10^2)=\frac{1}{9900}\cdot495\cdot515=\frac{103}{4}.$$ これが求める期待値の最大値であり，特に解答すべき値は $\textbf{107}$ である．