OMC卬高杯2(D)

点数: 500

Writer: tori9

　任意の正整数 $k$ に対して, $$kn^k={a_1}\cdot{_n}\mathrm{C}_1+{a_2}\cdot{_n}\mathrm{C}_2+\cdots+{a_{k-1}}\cdot{_n}\mathrm{C}_{k-1}+{a_k}\cdot{_n}\mathrm{C}_k$$ が正整数 $n$ に関する恒等式となるような実数 $a_1,\cdots,a_k$ が一意に定まります. このとき, $a_1,\cdots,a_k$ のうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $A(k)$ とし, そうでないものの和を $B(k)$ として, 以下の値を求めてください. $$\sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}$$