OMC卬高杯2(F)

　以下の両補題を有名事実として認める：

補題1.　 内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, $AB,AC$ に接し同時に $\Gamma$ に内接する円を $C_A$ とし, $C_A$ と $AB,AC$ の接点をそれぞれ $X,Y$ とする.このとき, $3$ 点 $X,I,Y$ は同一直線上にある.

補題2.　角 $A$ 内の傍心を $I_A$ とする三角形 $ABC$ において, $AB,AC$ に接し同時に $\Gamma$ に外接する円を $D_A$ とし, $D_A$ と $AB,AC$ の接点をそれぞれ $X^\prime,Y^\prime$ とする.このとき, $3$ 点 $X^\prime,I_A,Y^\prime$ は同一直線上にある.

　$\gamma$ と $AB,AC$ の交点をそれぞれ $B^\prime,C^\prime$ とする. $\triangle{AB^\prime C^\prime}$ の内接円を $C_1$ とし傍接円を $C_2$ とすると, 上の両補題より $C_1$ と $\omega$ の半径比と $C_2$ と $\omega_A$ の半径比は等しい. よって $C_1,C_2$ を $\omega,\omega_A$ に写す相似変換を考えることにより, $BC\parallel B^\prime C^\prime$ となる. このことから $\gamma$ は $\Gamma$ に点 $A$ で接すると分かる.
　$\omega,\omega_A$ と $BC$ の接点をそれぞれ $P,Q$, $\gamma$ と $\omega,\omega_A$ の接点をそれぞれ $S,T$ とし, $\gamma$ の中心を $O_A$ とする.

補題3.　$AS$ と $AQ$, $AT$ と $AP$ はそれぞれ $\angle{A}$ の二等分線に関して対称である.
証明.　$BC$ の中点を $M$ とし, $M$ から $\omega,\omega_A$への接線 ($BC$ でない方) について, それぞれの接点を $D,E$ とする. ここで $\angle{PDQ}=90$° であることに留意すれば $3$ 点 $A,D,Q$ が同一直線上にあることが分かる. 同様にして $3$ 点 $A,P,E$ も同一直線上にあるので, $AS$ と $AD$, $AT$ と $AE$ がそれぞれ $\angle{A}$ の二等分線に関して対称であることを示せばよい. ここで簡単な角度計算より $3$ 点 $A,D,E$ を通る円 $\gamma^\prime$ はそれぞれ $D,E$ で $MD,ME$ に接する, つまり $\omega,\omega_A$ に接すると分かる. $\gamma,\gamma$' はともに $A$ を通り $\omega,\omega_A$ に接するから, $\angle{A}$ の二等分線に関して対称である.

　$S,T$ における $\gamma$ の接線の交点を $N$ とすると, $SN=TN=PQ/2$ がわかり, $PQ=AC-AB=21$ より, $SN=21/2$ となる. 補題3より $\angle{PAQ}=\angle{SO_AN}$ であるから, $\tan{\angle{PAQ}}=21/40$ を得る.
　ここで, $\angle{PAQ}=a$, $\angle{AQP}=\theta$ とすると, $\dfrac{r_A}{r}=\dfrac{\tan(\theta+a)}{\tan\theta}$ となり, 加法定理から変形して, $$\dfrac{\tan(\theta+a)}{\tan\theta}=-\dfrac{1}{\tan a(\tan a+\tan\theta)+\dfrac{\tan^3a+\tan a}{\tan a+\tan\theta}-2\tan^2a-1}$$ となる. したがって, 相加・相乗平均の関係より $$\dfrac{\tan(\theta+a)}{\tan\theta}\geq -\dfrac{1}{2\tan a\sqrt{\tan^2a+1}-2\tan^2 a-1}= \left(\dfrac{\cos a}{1-\sin a}\right)^2=\dfrac{1241+21\sqrt{2041}}{800}$$ を得る. 逆に条件および上の等号をすべてみたせることが確認できるから, 上が求める最小値であり, 解答すべき値は $1241+21+2041+800=\textbf{4103}$ である.