OMC卬高杯2(D)

　正整数 $m$ に対して，$m$ 次関数 $f_m$ を $$f_m(x)=\dfrac{1}{m!}x(x-1)\cdots(x-m+1)$$ として定義すると， $$kn^k=a_1f_1(n)+a_2f_2(n)+\cdots +a_kf_k(n) \tag{1}$$ は正整数 $n$ に関する恒等式である．ここで $$kn^k-a_1f_1(n)-a_2f_2(n)-\cdots -a_kf_k(n)$$ は $n$ について高々 $k$ 次の多項式であるため，因数定理より，これは恒等的に $0$ であることがわかる．従って，$(1)$ は任意の実数 $n$ に関する恒等式である．
　ここで，$n=-1$ を代入すると， $$k(-1)^k=a_1(-1)+a_2(-1)^2+\cdots+a_k(-1)^k.$$ ゆえに，$k=A(k)-B(k)$ であるため，これに留意して計算する． $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{(A(k)-B(k))^3+3A(k)B(k)(A(k)-B(k))+2k^3}{(A(k)-B(k))^2+2A(k)B(k)+k^2}\\ &=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3k^3+3kA(k)B(k)}{2k^2+2A(k)B(k)}\\ &=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3}{2}k. \end{aligned}$$ 以上より解答すべき値は $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2020\times2021}{2}=\textbf{3061815}$ である．

　なお，$(1)$ に $n=1,2,\ldots,k$ を代入して $a_1,a_2,\ldots,a_k$ が一意に得られ，上と同様に因数定理を用いることにより，それが問題の条件をみたすことが確認できる．