OMC卬高杯2(D)

　正整数 $k$ に対して, 以下が $n$ に関する恒等式になるような実数 $b_1,\cdots,b_k$ を考える. $$n^k={b_1}\cdot{_n}\mathrm{C}_1+{b_2}\cdot{_n}\mathrm{C}_2+\cdots+{b_{k-1}}\cdot{_n}\mathrm{C}_{k-1}+{b_k}\cdot{_n}\mathrm{C}_k$$ そのうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $C(k)$ とし, そうでないものの和を $D(k)$ とすると, $$\begin{aligned} n^{k+1} &=nb_{1}\cdot{_n}\mathrm{C}_{1}+nb_{2}\cdot{_n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+nb_k\cdot{_n}\mathrm{C}_k \\ &= b_1(1\cdot{_n}\mathrm{C}_1+2\cdot{_n}\mathrm{C}_2)+\cdots+b_{k}(k\cdot{_n}\mathrm{C}_{k}+(k+1)\cdot{_n}\mathrm{C}_{k+1}) \\ &= b_1\cdot{_n}\mathrm{C}_{1}+2(b_1+b_2)\cdot{_n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+k(b_{k-1}+b_{k})\cdot {_n}\mathrm{C}_{k}+(k+1)b_{k}\cdot{_n}\mathrm{C}_{k+1} \end{aligned}$$ より $C(k+1)-D(k+1)=C(k)-D(k)$ であり, 特に $C(k)-D(k)=1$ が成立する.
　いま $a_i=kb_i$ であることから, $A(k)-B(k)=k$ となる. これに留意して計算する. $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{(A(k)-B(k))^3+3A(k)B(k)(A(k)-B(k))+2k^3}{(A(k)-B(k))^2+2A(k)B(k)+k^2}\\ &=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3k^3+3kA(k)B(k)}{2k^2+2A(k)B(k)}\\ &=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3}{2}k \end{aligned}$$ 以上より解答すべき値は $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2020\cdot2021}{2}=\textbf{3061815}$ である.