OMC卬高杯2(B)

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2032}a_{4k-3}=a_{1}+a_{5}+\cdots+a_{8125}=A\\ \sum_{k=1}^{2032}a_{4k-2}=a_{2}+a_{6}+\cdots+a_{8126}=B\\ \sum_{k=1}^{2032}a_{4k-1}=a_{3}+a_{7}+\cdots+a_{8127}=C\\ \sum_{k=1}^{2032}a_{4k}=a_{4}+a_{8}+\cdots+a_{8128}=D\\ \end{aligned}$$ とする. ここで求めるものは $A+B+C+D$ である. ここで $$\begin{aligned} x&=(a_{1}-a_{3})+(a_{5}-a_{7})+\cdots+(a_{8125}-a_{8127})\\ &=-a_{2}-a_{6}-\cdots-a_{8126}\\ &=-B \end{aligned}$$ 同様に $C=-y$ を得る. また, 簡単な計算により $A=C-B$ , $D=B+C$ であることが分かる. よって $$\begin{aligned} A+B+C+D&=(C-B)+B+C+(B+C)\\ &=B+3C\\ &=-x-3y\quad \end{aligned}$$ となるから, 解答すべき値は $\textbf{4}$ である.