OMC卬高杯1(G)

点数: 800

Writer: tori9

　平面上に $1000$ 個の点があり, どの $3$ 点も同一直線上になく, どの $4$ 点も同一円周上にありません. ここから $3$ 点を選ぶ方法であって, それらを通る円の内部 (周上を含まない) にちょうど $k$ 個の点を含むようなものの個数を $f(k)$ で表します. いま, $3$ 点を通る円が内部に含むことのできる点の個数の最大値を $M$ とすると, $f(M)=500$ が成立しました. このとき, 以下のとりえる最大値を求めてください. $$f(1)+2f(2)+\cdots+(M-1)f(M-1)+Mf(M)$$