OMC卬高杯1(F)

点数: 700

Writer: tori9

　$AB=4,AC=5$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に点 $D$ をとり, 三角形 $ABD$ の角 $BAD$ 内の傍接円を $F_B$, 三角形 $ACD$ の角 $CAD$ 内の傍接円を $F_C$ とします. また, $F_B$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_B,T_B$, 同様に $F_C$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_C,T_C$ として, $S_BT_B$ と $S_CT_C$ の交点を $P$ とします.
　いま, $D$ が辺 $BC$ 上を動いたとき, $P$ はある半径 $4$ の円周上を動きました. このとき, 線分 $S_BS_C$ の長さがとりえる最大値を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b,c,d$ (ただし $c$ は平方因子をもたず, $a,b,d$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-b\sqrt{c}}{d}$ と表せるので, $a+b+c+d$ を解答してください.