半直線 HM,MH と円 ABC の交点をそれぞれ D,E とすると,D は H を M について対称移動させた点であり,また AD は円 ABC の直径をなす.いま,AH と BC の交点を F とすると ∠AEM=∠AFM=90∘ より A,E,F,M は共円であり,ここで
3EM=EM×HM=EM×DM=(2BC)2=16
より EM=316 が成り立ち,さらに
AF=AH+HF≥2AH⋅HF=2EH×HM=237×3=27
だから,∣ABC∣=2AF×BC=4AF≥87
が成り立ち,また ∣ABC∣=87 かつ題意を満たす三角形 ABC は確かに存在するから,解答すべき値は 448 である.
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