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OMCE011

OMCE011(A)

 半直線 HM,MHHM, MH と円 ABCABC の交点をそれぞれ D,ED, E とすると,DDHHMM について対称移動させた点であり,また ADAD は円 ABCABC の直径をなす.いま,AHAHBCBC の交点を FF とすると AEM=AFM=90\angle AEM=\angle AFM=90^{\circ} より A,E,F,MA, E, F, M は共円であり,ここで 3EM=EM×HM=EM×DM=(BC2)2=163EM=EM×HM=EM×DM=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=16 より EM=163EM=\dfrac{16}{3} が成り立ち,さらに AF=AH+HF2AHHF=2EH×HM=273×3=27\displaystyle AF=AH+HF\geq 2\sqrt{AH\cdot HF}=2\sqrt{EH×HM}=2\sqrt{\dfrac{7}{3}×3}=2\sqrt 7 だから,ABC=AF×BC2=4AF87|ABC|=\dfrac{AF×BC}{2}=4AF\geq 8\sqrt 7 が成り立ち,また ABC=87|ABC|=8\sqrt 7 かつ題意を満たす三角形 ABCABC は確かに存在するから,解答すべき値は 448\textbf{448} である.

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