z=(2p−1)q(pq+1)(2p+r−1)
とおき,z が整数となる条件を考える.ここで,p,q,r が相異なる素数であることから,
gcd(2p+r−1,2p−1)=2gcd(p+r,p)−1=1
および gcd(pq+1,q)=1 が成り立つ.これにより,z が整数となることは
z1=2p−1pq+1,z2=q2p+r−1
がともに整数となることと同値である.Fermat の小定理より,
z1≡(pq+1)⋅(2p−1)−1≡1⋅1−1≡1(modp)
となる.ここで q≤2p+1−1 より,
z1=2p−1pq+1≤2p−1p2p+1−p+1=2p+2p−1p+1<2p+1
となるから,z1 としてありうる値は 1,p+1 に限られる.
z1=1 のとき,2p=pq+2 となるが,左辺は偶数,右辺は奇数であるから矛盾する.
z1=p+1 のとき,
q=p(p+1)2p−p−2=2p−1+p2p−2
が成り立ち,q が 1000 以下の素数となるのは (p,q)=(5,37) のときに限られる.このとき,z2 が整数となることから 2r+5≡1(mod37) が成り立つ.ここで,
218≡−1≡1,212≡−11≡1(mod37)
であるから,2 の mod 37 での位数は 36 である.したがって 36∣r+5 となるような r のみが適し,このような 1000 以下の r のうち最大のものは 967 である.
以上より,pqr としてありうる最大値は 5⋅37⋅967=178895 である.
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