| For All Solvers
OMCE011

OMCE011(C)

z=(pq+1)(2p+r1)(2p1)qz = \dfrac{(pq+1)(2^{p+r}-1)}{(2^p-1)q} とおき,zz が整数となる条件を考える.ここで,p,q,rp, q, r が相異なる素数であることから, gcd(2p+r1,2p1)=2gcd(p+r,p)1=1 \gcd (2^{p+r}-1, 2^p-1) = 2^{\gcd(p+r, p)} - 1 = 1 および gcd(pq+1,q)=1\gcd(pq+1, q) = 1 が成り立つ.これにより,zz が整数となることは z1=pq+12p1,z2=2p+r1q z_1 = \frac{pq+1}{2^p-1}, \quad z_2 = \frac{2^{p+r}-1}{q} がともに整数となることと同値である.Fermat の小定理より, z1(pq+1)(2p1)11111(modp) z_1 \equiv (pq+1) \cdot (2^p-1)^{-1} \equiv 1 \cdot 1^{-1} \equiv 1 \pmod{p} となる.ここで q2p+11q \le 2^{p+1} - 1 より, z1=pq+12p1p2p+1p+12p1=2p+p+12p1<2p+1 z_1 = \frac{pq+1}{2^p-1} \le \frac{p 2^{p+1}-p+1}{2^p-1} = 2p + \frac{p+1}{2^p-1} \lt 2p+1 となるから,z1z_1 としてありうる値は 1,p+11, p+1 に限られる.

 z1=1z_1 = 1 のとき,2p=pq+22^p=pq+2 となるが,左辺は偶数,右辺は奇数であるから矛盾する.

 z1=p+1z_1=p+1 のとき, q=(p+1)2pp2p=2p1+2p2pq=\dfrac{(p+1)2^p-p-2}{p} = 2^p-1 + \frac{2^p-2}{p} が成り立ち,qq10001000 以下の素数となるのは (p,q)=(5,37)(p, q) = (5, 37) のときに限られる.このとき,z2z_2 が整数となることから 2r+51(mod37)2^{r+5} \equiv 1 \pmod{37} が成り立つ.ここで, 2181≢1,21211≢1(mod37) 2^{18} \equiv -1 \not\equiv 1, \quad 2^{12} \equiv -11 \not\equiv 1 \pmod{37} であるから,22mod 37\mathrm{mod} ~ 37 での位数は 3636 である.したがって 36r+536 \mid r+5 となるような rr のみが適し,このような 10001000 以下の rr のうち最大のものは 967967 である.

 以上より,pqrpqr としてありうる最大値は 537967=1788955 \cdot 37 \cdot 967 = \textbf{178895} である.

解説YouTube

解説YouTubeが存在しません.