OMCE011(B) - a_i=1,2,3を満たす項数を考える

　問題文の箇条書きの条件を，上から順に条件 1，条件 2，条件 3，条件 4 と呼ぶことにする．
　数列 $\{ a_n \}$ に対して，$a_i=1$ を満たす項数が $x$，$a_i=2$ を満たす項数が $y$，$a_i=3$ を満たす項数が $z$ であるとしよう．このとき条件 1 から $(a_i, a_{i+1})=(1,2)$ となるものは $(x-132)$ 個存在し，一方で条件 3 から $(x-132)+321=y$ なので，$y=x+189$ を得る．同様にして $z=x+108$ であり，$n=3x+297$ である．
　次に，残された条件 4 を用いたい．先ほどの議論から，

• $(a_i, a_{i+1})=(1, 2)$ となるものがちょうど $(x-132)$ 個
• $(a_i, a_{i+1})=(2, 3)$ となるものがちょうど $(x-24)$ 個

ずつ存在することがわかっている．
　明らかに $\min(x-132, x-24)=x-132 \geq 123$である．よって $x \geq 255$ を得る．
　次に $x$ の最大値を考えよう．$(a_i, a_{i+1}, a_{i+2})=(1, 2, 1)$ となるものの個数を $t$ と置くと，$x-132=t+123$ である．$t \leq 213$ なので，$x \leq 468$ である．
　あとはそのような数列の構成ができればよいが，$1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 1$ のループを $123$ 回して，あと必要な回数だけ $1 \to 2 \to 1$ の往復，$2 \to 3 \to 2$ の往復，$1 \to 3 \to 1$ の往復，$1 \to 3 \to 2 \to 1$ のループをさせれば，任意の $255 \leq x \leq 468$ を満たす $x$ に対して，数列 $\{ a_n \}$ を構成できる．
　よって求めるべき値は $$\sum_{x=255}^{468} (3x+297)=\mathbf{295641}$$