OMCE011(D)

　前者の条件は，ある複素数係数多項式 $Q$ によって $$\begin{aligned} P(x) &= Q(x)\cdot\prod_{n=1}^{3000} \bigg( x- \bigg(\cos{\frac{2n}{3001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{3001}\pi} \bigg) \bigg) +3001 \\ &=Q(x)(x^{3000}+x^{2999}+\ldots+x+1)+3001 \end{aligned}$$

と表せることと同値であり，後者は同様にある複素数係数多項式 $R$ によって $$P(x)=R(x)(x^{7000}+x^{6999}+\ldots+x+1)+7001$$ と表せることと同値である．以下では $$A(x)=x^{3000}+x^{2999}+\cdots+1, \quad B(x)=x^{7000}+x^{6999}+\cdots+1$$ とする．このとき $A$ と $B$ が互いに素であることに注意する．
　まず，このような $Q, R$ をひとつ見つける．$(m, n)=(1752,751)$ とおくと，これは $3001m-7001n=1$ をみたす．したがって， $$\begin{aligned} Q_1(x) &= 4000(x^{3001(m-1)}+x^{3001(m-2)}+\ldots+1),\\ R_1(x) &= 4000x(x^{7001(n-1)}+x^{7001(n-2)}+\ldots+1) \end{aligned}$$ とすれば，$Q = Q_1, ~ R = R_1$ が $Q(x)A(x)-R(x)B(x)=4000$ をみたす一つの構成となっている．$A, B$ が互いに素であることから，一般にある整数係数多項式 $S(x)$ によって $$Q = Q_1 + BS, \quad R = R_1 + AS$$ と表される．これより，$R_1$ を $A$ で割ったあまりを $R_2$ とおくと，$R$ としてありうるもののうち次数が最小となるのは $R_2$ であるので，求める値は $P_2 = R_2B+7001$ としたときの $P_2(1)$ の値である．
　$R_2(x)$ は $R_1(x)$ を $(x-1)A(x)=x^{3001}-1$ で割ったのちに $A(x)$ で割ったあまりに等しい．$R_1(x)$ を $x^{3001}-1$ で割ったあまりは，非負整数 $j$ に対して $7001j$ を $3001$ で割ったあまりを $r_j$ として， $$4000(x^{r_{n-1}}+x^{r_{n-2}}+\ldots+x^{r_1}+1)$$ に等しい．$r_1, r_2, \ldots,r_{n-1}$ のうち $3000$ に等しいものは存在しないため， $$R_2(x) = 4000(x^{r_{n-1}}+x^{r_{n-2}}+\ldots+x^{r_1}+1)$$ が成り立つ．したがって，解答すべき値は $$P_2(1) = R_2(1)B(1) + 7001 = 4000 \cdot 752 \cdot 7001 + 7001 = \mathbf{21031011001}$$ である．