OMCE008(F)

点数: 700

Writer: Shota_1110

　$i$ を虚数単位とし，複素数 $\eta$ を次のように定めます． $$\eta = \cos \frac{\pi}{555} + i \sin \frac{\pi}{555}$$ このとき，相異なる $1$ 以上 $1110$ 以下の整数の組 $(a_1, \ldots, a_{12})$ であって，以下の条件をともにみたすものはいくつありますか？

• 各 $n = 1, 2, \ldots, 12$ で $$(\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_n})^5 = \eta^{5a_1} + \cdots + \eta^{5a_n}$$ が成り立つ．

• $1 \leq n \leq 12$ なる整数 $n$ であって $$\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_n} = 0$$ をみたすものがちょうど $3$ つ存在し，そのうちの $1$ つは $12$ である．