OMCE008(D)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　任意の正整数 $n$ について，関数 $f_n \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $$f_n(x) = x + n \cdot n! \left ( \left \lfloor \frac{x}{n!} \right \rfloor - (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 1)!} \right \rfloor + (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 2)!} \right \rfloor \right )$$ によって定めます．$0$ 以上 $11!$ 未満の整数 $k$ であって，ある正の整数 $m$ と正の整数列 $a_1, a_2, \ldots, a_m$ が存在して $$k = f_{a_1}( f_{a_2} ( \cdots ( f_{a_m} (1110) ) \cdots ) )$$ が成り立つものはいくつありますか？