OMCE007(D)

点数: 600

Writer: bzuL

　正整数 $m$ と素数 $p$ に対して，$m$ が $p$ で割り切れる回数の最大値を $v_p(m)$ と定めます．また，小さいほうから数えて $k$ 番目の素数を $p_k$ とおきます． 正整数 $n$ に対して $v_{p_{k}}(n) - v_{p_{k+1}}(n) \lt 59$ なる最小の正整数 $k$ を $k(n)$ とし，関数 $f,g$ を $$f(n) = \prod_{t=1}^{k(n)} p_t, \quad g(n) = \displaystyle\prod_{t=1}^{k(n)-1} p_t^{k(n)-t}$$ で定めます．ただし $k(n) = 1$ のときは $g(n) = 1$ とします．さらに数列 $\{ a_n\}$ を $a_0 = 1$ および $$a_{n+1} = \frac{f(a_n)\times a_n}{g(a_n)^{59}} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ で定めると，$N= 59\times 60^{100000}-1$ に対して $a_N$ が整数となることが示せます．$a_{N}$ の正の約数の個数を $d(a_N)$ で表すとき，$v_{59}\bigl( d(a_N) a_N \bigr)$ の値を求めてください．