OMCE005(F) - 傍心を用いた解法

　$AP=x, DP=y$ とする．三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍心，傍接円を $I_A, \omega_A$ とし $\omega_A$ と直線 $BC, CA, AB$ の接点を順に $D_A, E_A, F_A$ とする．直線 $AP$ と直線 $BC, E_AF_A$ の交点を $H, Q$ とし，点 $I$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足を $J$ とする．
　四角形 $APDI$ は平行四辺形なので $AP=ID=JH$ であり，$A, E, I, J, F$ の共円から $$AP\times AJ=AF^2=AI^2-IF^2=AI^2-AP\times JH \rArr AI^2=AP\times AH$$ がわかる．$A$ を中心とした相似拡大などから $HD:HD_A=ID:I_AD_A$ より $\angle IHA=\angle I_AHQ$ であり，$AP:AQ=AI:AI_A$ から $AH\times AQ=AI\times AI_A$ より $I, I_A, Q, H$ が共円となるので，上記と合わせて $QI=QI_A$ となる．したがって四角形 $IE_AI_AF_A$ はひし形となり $IF_A=I_AF_A$ および $F_A, I, E$ が同一直線上であることから $\cos A=\dfrac {IF}{IF_A}=\dfrac {IF}{I_AF_A}=\dfrac {AI}{AI_A}$ となる．よって求める三角形 $ABC$ の面積は $$\dfrac 12AB\times AC\sin A=\dfrac 12AI\times AI_A\sin A=\dfrac 12AI^2\tan A$$ 　ここで $\sin \dfrac A2=\dfrac xy$ より $\tan A=\dfrac {2\sin \frac A2 \cos \frac A2}{1-2\sin ^2\frac A2}=\dfrac {2x\sqrt {y^2-x^2}}{y^2-2x^2}$ なので求める値は $\dfrac {xy^2\sqrt {y^2-x^2}}{y^2-2x^2}$ である．