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OMCE005

OMCE005(C) - 空間ベクトル

ユーザー解説 by ykymst

まず, AD=BC=a, BD=AC=b, CD=AB=c AD=BC=a, \ BD=AC=b, \ CD=AB=c DA→=a→, DB→=b→, DC→=c→ \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c} とおく.

傍心の位置ベクトル表記から, DP→=cb→+bc→b+c−a, DQ→=ca→+ac→c+a−b, DR→=ba→+ab→a+b−c \overrightarrow{DP}=\frac{c\overrightarrow{b}+b\overrightarrow{c}}{b+c-a}, \ \overrightarrow{DQ}=\frac{c\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{c}}{c+a-b}, \ \overrightarrow{DR}=\frac{b\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{b}}{a+b-c} と表せる.

四面体の体積の公式より, V1=16∣(DA→×DB→)⋅DC→∣, V2=16∣(DP→×DQ→)⋅DR→∣ V_{1}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB}\right)\cdot\overrightarrow{DC}\right|, \ V_{2}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{DP}\times\overrightarrow{DQ}\right)\cdot\overrightarrow{DR}\right| であり, 外積と内積の計算法則に従って整理することで, V2V1=2abc(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{2abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} を得る. 以降は公式解説の通り傍接円の半径の性質を用いる.

傍心の位置ベクトル表記
参考: 内心の位置ベクトル表記
外積と内積の計算法則

空間ベクトル x→,y→,z→\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z} について,

  • x→×y→=−y→×x→\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{y} \times \overrightarrow{x}
  • x→∥y→\overrightarrow{x} \parallel \overrightarrow{y} のとき x→×y→=0→\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = \overrightarrow{0}
  • (x→×y→)⋅z→=(y→×z→)⋅x→=(z→×x→)⋅y→\left(\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y}\right) \cdot \overrightarrow{z} = \left(\overrightarrow{y} \times \overrightarrow{z}\right) \cdot \overrightarrow{x} = \left(\overrightarrow{z} \times \overrightarrow{x}\right) \cdot \overrightarrow{y}

が成り立つ.

傍接円の半径の性質 三角形 ABCABC の面積を SS, 角 A,B,CA, B, C に対する傍接円の半径をそれそれ rA,rB,rCr_{A}, r_{B}, r_{C} とすると, 2S=rA(CA+AB−BC)=rB(AB+BC−CA)=rC(BC+CA−AB) 2S=r_{A}(CA+AB-BC)=r_{B}(AB+BC-CA)=r_{C}(BC+CA-AB)
参考: 内接円の半径の性質 三角形 ABCABC の面積を SS, 内接円の半径を rr とすると, 2S=r(AB+BC+CA) 2S=r(AB+BC+CA)