OMCE004(F)

　以下，パーを出した人を $P$，グーを出した人を $G$，チョキを出した人を $C$ と表す．また，一般性を失わずに，残り $3$ 人になった段階で $P, G, C$ がこの順に時計回りに並んでいるとする．まず，$k$ 回戦が終わった直後に $P$ と $G$ がこの順に時計回りになるように隣り合っていたとし，この二人の間にいて $k$ 回戦で脱落した人について考える．$P$ の時計回りに隣にいた人で脱落した人がいたとすると，その人は両隣のどちらにも勝っていないため，$P$ か $G$ だと分かる．また，$P$ だとすると，その時計回りに隣の人が $C$ と確定し，その人も $k$ 回戦で脱落していると分かるが，これはこの人が $P$ に勝利し得点が $0$ 点以上であることに矛盾する．よって，$P$ の時計回りに隣の人は $G$ しかありえないと分かる．また，その時計回りに隣に脱落した人が続いていたとすると，それは $P, \dots$ か $G, P, \dots$ のどちらかのように続くこととなり，いずれの場合も $P$ が脱落せずに矛盾する．よって，脱落した人は $G$ 一人か誰もいないかのどちらかである．$P, G$ の順番が逆の場合も同様となる．隣り合う二人が $G, C$ の場合は脱落した人が $C$ 一人か誰もいないこと，及び隣り合う二人が $C, P$ の場合は脱落した人が $P$ 一人か誰もいないことも同様にして分かる．
　次に，$k$ 回戦が終わった直後に $P$ と $P$ がこの順に時計回りになるように隣り合っていたとし，この二人の間にいて $k$ 回戦で脱落した人について考える．$P$ の時計回りに隣にいた人で脱落した人がいたとすると，その人は$P$ に勝っていないため，$P$ か $G$ である．また，$P$ だとすると，その時計回りに隣の人が $C$ となり，この人が脱落しないため矛盾する．よって，$G$ と確定する．また，$G$ の時計回りに隣の人で脱落した人がいたとすると，その人は $P$ か $G$ となるが，$P$ だと脱落せず矛盾するため，$G$ に確定する．さらに隣に脱落した人がいるとすると，それは $P$ しかないが，やはり $P$ は脱落せず矛盾する．これより，脱落した人は $G$ 二人か $G$ 一人か誰もいないかのいずれかである．$G$ と $G$，$C$ と $C$ がこの順に時計回りになるように隣り合っていた場合も同様に考えることができる．
　ここで，$k$ 回戦が終わった直後に円に残っている住人について，出した手が異なるような隣り合う二人の組の数を $a_{n-k}$，出した手が同じような隣り合う二人の組の数を $b_{n-k}$ とする (ただし，二人の順番は区別しないものとする)． このとき，$a_{0} = 3, b_{0} = 0$ と分かる．また，$a_{n}, b_{n}$ はそれぞれ $1200$ 人全員が円に残っている最初の状態における値を表すものとする．このとき，上記の議論より， $$a_{m+1} \leq a_{m} + 2b_{m}, \ b_{m+1} \leq b_{m} + a_{m}$$ が分かる $(0 \leq m \leq n-1)$．また，$k$ 回戦が終わった直後に円に残っている住人の数は $a_{n-k} + b_{n-k}$ となることも容易に分かる．これより， $$a_{1} \leq 3, \ b_{1} \leq 3 , \dots , a_{7} \leq 717, \ b_{7} \leq 507$$ が分かる．これより $n \geq 7$ が従い，また，$n = 7$ を実現する初期状態が存在することは容易に分かるため，$n$ の最小値が $7$ と分かる．
　以下，$n = 7$ として考える．$a_{6} + b_{6} \leq 507$ より，一回戦で脱落した人数は $693$ 人以上と分かる．また，一回戦で正の得点を得た人の点数の合計は $a_{7} \leq 717$ とも分かる．全員の得点の合計が $0$ であること，及び脱落した人の得点は $-1$ または $-2$ であることを踏まえると，$B \leq 717 - 693 = 24$ が分かる．また，$2$ 回戦で脱落した人について考えると，その人は $2$ 回戦で $-1$ 以下の得点を取ったことになり，このような人は $1$ 回戦で $1$ 点以下の得点しか得られない．また，$1$ 回戦で脱落した人は当然，$1$ 回戦で$-1$ 以下の得点しか得ていないため，結局 $1$ 回戦で $2$ 点を取った人は $2$ 回戦後に円に残っていると分かる．よって，$A \leq a_{5} + b_{5} \leq 123 + 87 = 210$ と分かる．
　以下，いずれの等号も実現する初期状態が存在することを示す．まず， $$a_{0} = 3, \ b_{0} = 0, \ a_{m+1} = a_{m} + 2b_{m}, \ b_{m+1} = b_{m} + a_{m} \ \ \ (0 \leq m \leq n-1)$$ 　を満たすように遷移する場合を考える．すると，$a_{7} + b_{7} = 1224$ となり，実際の住人の数より $24$ 多くなってしまう．そこで，初期状態において $P, G, G, P$ または $G, C, C, G$ または $C, P, P, C$ と連続して並んでいる部分を考える．(このような部分は少なくとも $b_{6} = 210$ 箇所はある．) これを $P, G, P$ のように間の $2$ つを $1$ つに置き換える操作を $24$ 箇所に行うことで，実際の住人の数と一致する．また，これにより，$1$ 回戦終了以降の状態は変化せず，また，$B = 24$，及び $A = a_{5} + b_{5} = 210$ が実現していることも容易に分かる．
　以上より，解答すべき値は $210 \times 24 = \mathbf{5040}$．