OMCE004(B) - 別解（典型的？）

　最終的にすることは変わりませんが，考え方だけ別解です．たまによく（形容矛盾）見るテクニックです．

　重要なのは $RBW$ の組み合わせ的な意味を考えることです．
　ボールに適当に $1$ から $2024$ までの番号を付けます（また便宜上，ボール $2025$ はボール $1$ を表すものとします）．このとき，ある塗り方における $RBW$ は次の場合の数に等しいことが分かります．

• $1$ 以上 $2024$ 以下の整数の組 $(r,b,w)$ であって，以下を満たすものの個数．
  • ボール $r$ と $r+1$ はともに赤色である．
  • ボール $b$ と $b+1$ はともに青色である．
  • ボール $w$ と $w+1$ はともに白色である．

これはいわゆる「積の法則」から簡単に分かります．白丸の箇条書きがそれぞれ $R,B,W$ 通りあるからです．
　この場合の数をすべての塗り方について足し合わせれば，それを $3^{2024}$ で割ることで平均が出せます．以下はこれを考えましょう．

　ここで主客転倒と呼ばれるテクニックが使えます．つまり，「足し合わせる過程においてある組 $(r,b,w)$ は何回寄与するか？」を考えてそれを足し合わせても変わりません．次のことがすぐに分かります．

• ボール $r,r+1, b, b+1, w, w+1$ がすべて異なるとき，「これらのボールを対応する色で塗り，それ以外は自由に塗る塗り方」すべてが $(r,b,w)$ を含むから，この組は $3^{2018}$ 回寄与する．
• そうでないとき，寄与するような塗り方はない（被っているボールは同時に $2$ 色で塗らなければならなくなる）．よって寄与は $0$ 回．

従って，考えるべきことは「ボール $r,r+1,b,b+1,w,w+1$ がすべて異なるような $r,b,w$ はいくつあるか？」に絞られました．なぜなら，これが分かれば，寄与の合計はその $3^{2018}$ 倍であり，これが求めていた総和であるからです．

　あとは $r$ を固定するなどして，今考えるべきことの答えは $2024 \times (1+2+\cdots+2019)\times 2$ だと分かるので，これで解けました．