OMCE004(B)

　まず，各ボールを独立にそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率で赤，青，白に塗っていくと考えることで，求めるべきは $RBW$ の期待値と言い換えることができる．また，塗り方を固定したときの $RBW$ の値は，隣り合うボール同士の順序付いた $3$ つの組 $(A_1,A_2,A_3)$ であって，$A_1, A_2, A_3$ に含まれる $2$ つのボールがそれぞれ赤と赤，青と青，白と白で塗られているようなものの数に等しい． $\\$　そこで, $(A_1, A_2, A_3)$ を選んだ時, $A_1, A_2, A_3$ に含まれる $2$ つのボールがそれぞれ赤と赤, 青と青, 白と白で塗られているとき $(A_1, A_2, A_3)$ のスコアを $1$ , そうでないとき $(A_1, A_2, A_3)$ のスコアを $0$ と定めることで, 全ての $(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの和が $RBW$ に等しくなり, 求めるべきは全ての $(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの和の期待値と分かる. これは, $(A_1,A_2,A_3)$ のスコアの期待値の和に等しいため, 各組のスコアの期待値を考えればよいと分かる. $\\$　まず, $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持つときは必ずスコアが $0$ となるため, スコアの期待値は $0$ である. 一方, $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持たないときは, スコアが$1$ になる確率が $\left( \dfrac{1}{3} \right)^6 = \dfrac{1}{729}$ であることから, スコアの期待値は $\dfrac{1}{729}$ である. よって, $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持たないような $(A_1,A_2,A_3)$ の数を求めればよいと分かる. 　そこで, まず $A_1$ を固定したときの $A_2, A_3$ の選び方を考える. これは, $2022$ 個のボールが横一列に並んでいるときに, 区別できる隣り合うボール同士の組を $2$ つ重ならないように選ぶ方法に等しく, これは ${}_{2020}\mathrm{C}_{2} × 2 = 4078380$ 通りある. また, $A_1$ の選び方は $2024$ 通りあるため, 条件を満たす $(A_1,A_2,A_3)$ の数は全部で $4078380 × 2024 = 8254641120$ 通りあると分かる. よって, 全ての$(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの期待値の和は $8254641120 × \dfrac{1}{729} = \dfrac{2751547040}{243}$ となるため, 特に解答すべき値は $\mathbf{2751547283}$ となる.