OMCE004(E)

　直線 $AB, AC$ に関して $H_A$ と対称な点を順に $H_1, H_2$ とすれば $H_2, H_B, L, H_C, H_1$ は同一直線上で，三角形 $AYZ$ と三角形 $AH_1H_2$ が相似から $4$ 点 $A, Y, H_1, L$ および $A, L, Z, H_2$ はいずれも同一円周上．ここで三角形 $AH_AX, AH_1Y, AH_2Z$ は全て合同な直角三角形なので $\angle ALY=\angle AH_1Y=\angle AH_AX=\angle AH_2Z=\angle ALZ=90\degree$ より $\angle YAL=\angle ZAL=\angle BAC$ なので $\angle BAX= \angle BAY=\angle CAH$ から三角形 $ABC$ の外心 $O$ は直線 $AX$ 上にある．
　あとは公式解説と同様であるが，点 $O$ に関して 点 $A$ と対称な点を$D$，点 $M$ に関して点 $P$ と対称な点を $Q$ とすれば， $$BC=DP\times\dfrac{AM}{AQ}=\dfrac{AP^2}{YP}\times\dfrac{AM}{AQ}$$ $$YP=AP-PM\times\sqrt2$$ 　が言えるので，ここからも求めることはできる（が，これを示す労力よりも公式解説の計算の方が軽いと思われるので非推奨）