OMCE004(A)

　一方が持っている奇数のカードともう一方が持っている偶数のカードの枚数は等しい．また，$1,2,\ldots,8$ のうち $2$ 数が互いに素でないのは，ともに偶数である場合か，$3$ と $6$ のみである．まずこれにより，一方が $3$ と $6$ を同時に持っているときには，$B$ さんは $A$ さんが直前に出した数と偶奇の異なるものを任意に出すことで必ず勝てるとわかる．
　$A$ さんが $3$ を，$B$ さんが $6$ を持っているとする．いま $A$ さんが $3$ の他に奇数を持っているとき（すなわち $B$ さんが $6$ の他に偶数を持っているとき），$B$ さんは（$3$ の後に $6$ を出さないようにすれば）上と同じ戦略で勝つことができる．そうでないとき，すなわち $A$ さんが $2348$ を，$B$ さんが $1567$ を持っているときは，$A$ さんは $3$ を最後まで残せば $B$ さんは $6$ を残すことになり負ける．
　逆に $A$ さんが $6$ を，$B$ さんが $3$ を持っているとすると，同様にして $A$ さんが $1567$ を，$B$ さんが $2348$ を持っているときのみ検討すればよい．このとき，$A$ さんはまず $6$ を出せばよい．
　以上により，求めるべき値は $8432 + 7651 = \mathbf {16083}$ と分かる．