OMCE004(C)

　$\angle ACB = \theta$ とする．すると，$4$ 点 $A, X, D, C$ の共円より $\angle AXD = 180^\circ - \theta$ が従い，$\angle AXC = \angle ADC = 90^\circ$ より $\angle DXC = 90^\circ - \theta$ が得られる．また，$4$ 点 $A, O, X, B$ の共円より $\angle BXE = \angle BAO = 90^\circ - \theta$ も分かるので， $$\angle BXC = 360^\circ - \angle BXA - \angle AXC = 360^\circ - \angle BOA - \angle ADC = 270^\circ - 2\theta$$ から，$\angle EXD = 90^\circ$ を得る．これより， $$\angle EXD = \angle CXA = 90^\circ, \quad \angle XDE = 180^\circ - \angle XDC = \angle XAC$$ より，三角形 $EXD$ と三角形 $CXA$ が回転相似の関係にあることが分かる．よって，三角形 $EXC$ と三角形 $DXA$ も回転相似の関係にある．$\angle BXE = \angle DXC, \ \angle BXD = \angle EXC$ より，面積比を考えることで， $$BX \cdot EX : CX \cdot DX = 2 : 1, \quad BX \cdot DX : CX \cdot EX = 7 : 5$$ が得られる．よって $EX : DX = \sqrt{10} : \sqrt{7}$ であり，三平方の定理から $DX = \dfrac{3\sqrt7}{\sqrt{17}}$ である．また三角形 $EXC$ と三角形 $DXA$ の相似比が $\sqrt{10} : \sqrt{7}$ なので，$AD = \dfrac{\sqrt{70}}{2}$ が分かり，三平方の定理より，$AC = \dfrac{ \sqrt{86}}{2}$ となる．そして， $$AX : AC = DX : DE = \sqrt{7} : \sqrt{17}$$ より，$AX^2 = \dfrac{301}{34}$ が分かる．特に，解答すべき値は $\mathbf{335}$．