OMCE003(B) - 長さ追跡

イントロ

　$BD$ と $AM, AC$ の交点をそれぞれ $X, Y$ とします．また直線 $BC$ 上に $Z$ を $\triangle ABZ$ が正三角形になるようにとります (なお，$Z$ は三角形の内角の二等分線の長さを求めるためだけに用いるので，その公式を知っている方はとる必要はありません)．また，$BM=CM=x$ とします．
図を実際に書いてみると，$\triangle XYA\sim\triangle XAD$ が見えるのでこの相似から立式して答えを求めていきましょう．

実際に解く

　$\triangle ABM$ において余弦定理・角の二等分線の性質から $AX$ が求まり，$\triangle AZM\sim\triangle XBM$ 及び $\triangle AZC\sim\triangle YBC$ に関しての相似比から $XB, YB$ が分かるので，$XY$ が求められます．また，$\triangle ABC$ に関して角の二等分線の性質から $YA:AD$，つまり $\triangle XYA\sim\triangle XAD$ の相似比が計算できます． したがって $XY:XA=YA:AD$ によって得られる等式 $XY\cdot AD=XA\cdot YA$ を $x$ に関する方程式として立てることができます．あとはこれを解けば良いです．