OMCE002(E) - 算数で解く

四角形 $ARBX,BRCY,CRDZ,DRAW$ が平行四辺形となるような点 $X,Y,Z,W$ を取る. このとき, 例えば点 $Q,A,B,X,R$ と $Q,C,D,R,Z$ には相似の関係があるので $Q,X,Z$ は共線となる. ここで $\triangle{RXZ}=\dfrac{1}{2}(|YXRZ|-|WYRZ|)$ であるが $$|YXRZ|=2\times\triangle{RBC}+\triangle{RXB}+\triangle{RZC}$$ $$|WXRZ|=2\times\triangle{RAD}+\triangle{RXA}+\triangle{RZD}$$ なので, $\triangle{RZX}=\triangle{RBC}-\triangle{RAD}$ だとわかる. よって仮定より $$\triangle{QRX}:\triangle{QZR}=2\times 2:2\times 2 + 5=4:9$$ 一方, 冒頭に述べた通り点 $Q,A,B,X,R$ と $Q,C,D,R,Z$ は相似であり, その相似比は $2:3$ であるとわかるので, $AB:CD=2:3$ が従う. 同様に $AD:BC=4:5$ もわかるので, あとは公式解説と同様にやれば良い.

一般的に, こういう問題では平行四辺形を作ってあげるとたまにうまくいきます. 例としてJJMO2023予選12を挙げておきます（ネタバレになったらすいません）.