OMCB034(F) - 面積を用いる別解その２（座標）

（座標を用いる発想に至るまで）

　ユーザー解説同様，三角形の面積の公式 $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ を用いたい．
　$BC=121 \sqrt{3}$ はすぐにわかるので，点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $H$ としたとき，$AH$ と $AB+AC$ の値がわかれば $r$ が求まる．
　ここで，円 $\Omega$ の点 $A$ を含まない弧 $BC$ の中点を $M$ とすると，$AB+AC=AM$ である（四角形 $ABMC$ に Ptolemy の定理を適用すればよい）．よって，$AH$ と $AM$ の値がわかれば $r$ の大きさが求まる．
　以上の考察から，円 $\Omega$ の中心を原点とし，直線 $OM$ が $x$ 軸となるように直交座標を設定すれば問題が解けるだろうと考えられる．

　円 $\Omega$ の中心を原点とし， $$B\left(\dfrac{121}{2},\dfrac{121}{2}\sqrt{3}\right), C\left(\dfrac{121}{2},-\dfrac{121}{2}\sqrt{3}\right),M(-121,0)$$ となるように座標軸を設定する．
　円 $\gamma$ の中心を $P$ とすると，$P$ の $x$ 座標は$\dfrac{163}{2}$ であり，$OP=100$ である．三平方の定理から $P\left( \dfrac{163}{2}, \dfrac{11}{2}\sqrt{111}\right)$ である．
　次に $\overrightarrow{OA}=\dfrac{121}{100}\overrightarrow{OP}$ より，$A\left(\dfrac{121 \cdot 163}{200},\dfrac{11^3}{200}\sqrt{111}\right)$ である．
　あとは計算さえ頑張ればよい．$AH=\dfrac{121 \cdot 163}{200}-\dfrac{121}{2}=\dfrac{121 \cdot 63}{200}$，$AM$ は三平方の定理を用いれば $\dfrac{11^3 \sqrt{3}}{10}$ となる．
　最後に，ここまでで得た値を $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ に代入していけば，$r$ の大きさが求まる．