OMCB020(G)

　$0$ でない実数 $c$ を用いて $f(x) = c(x-p)(x-q)(x-r)$ と表せる．このとき $x=p,q,r$ における微分係数は $$\begin{aligned} f^\prime(p) &= c(p-q)(p-r) \\ f^\prime(q) &= c(q-p)(q-r) \\ f^\prime(r) &= c(r-p)(r-q) \end{aligned}$$ と計算できる．$p-q=k, ~ q-r=l$ とおくと，$p-r=k+l$ であることに注意すれば， $$\begin{aligned} f^\prime(p) &= ck(k+l) \\ f^\prime(q) &= -ckl \\ f^\prime(r) &= cl(k+l) \end{aligned}$$ と表せる．与えられた条件から $ck(k+l)=9, ckl=7$ であり，辺々の差をとって $$ck^2=2$$ を得る．さらに， $$cl^2 = \frac {(ckl)^2}{ak^2} = \frac {49}2$$ が成り立つ．したがって，求める値は $$cl(k+l) = ckl + cl^2 = 7 + \frac {49}2 = \frac {63}2$$ であり，答えるべき値は $63+2=\mathbf{65}$ である．
　なお，例えば $\displaystyle f(x) = \frac 12x(x-2)(x-9)$ などが問題の条件を満たす．

別解．
　一般に，相異なる複素数 $a,b,c$ に対して恒等式 $$\frac 1{(a-b)(a-c)} + \frac 1{(b-a)(b-c)} + \frac 1{(c-a)(c-b)} = 0$$ が成り立つ (通分することにより容易に確かめられる)．したがって $$\frac 1{f^\prime(p)} + \frac 1{f^\prime(q)} + \frac 1{f^\prime(r)} = 0$$ であり，ここから $f^\prime(r) = \dfrac {63}2$ が従う．なお一般に，重根を持たない $2$ 次以上の多項式の根における微分係数の逆数和は $0$ になる．