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OMCB019

OMCB019(F) - オマケ（a_n, b_n の一般項（？）について）

ユーザー解説 by ojamesi1357

P0=1,Pn=∏i=0n−1(2i+1)(n≥1) P_0 = 1,\quad P_n = \prod_{i=0}^{n-1} (2^{i}+1) \quad (n\geq 1) とします．問題では bn−anb_n-a_n を PnP_n を用いて表しましたが，実は an,bna_n, b_n 単体についても PnP_n を用いて表すことができます．

ネタバレ はじめに，解説中の漸化式が bn−2an=(−1)nb_n - 2a_n = (-1)^n を満たすことを数学的帰納法で示します．

  • n=0n=0 の場合は b0−2a0=3−2×1=1b_0 - 2 a_0 = 3-2 \times 1=1 なので確かに成立しています．
  • ある非負整数 kk において bk−2ak=(−1)kb_k - 2a_k = (-1)^k が成立していると仮定します．このとき，bk+1−2ak+1b_{k+1} - 2a_{k+1} の値を解説中の漸化式に基づいて計算すると， bk+1−2ak+1=((bk−ak)(2k+1+3)−ak)−2((bk−ak)(2k+3)−bk)=−bk+2ak=(−1)k+1 \begin{aligned} b_{k+1} - 2a_{k+1} &=\bigl( (b_k-a_k)(2^{k+1}+3) - a_k \bigl) - 2\bigl( (b_k-a_k)(2^{k}+3) - b_k \bigl) \\ &=-b_k + 2 a_k\\ &= (-1)^{k+1} \end{aligned} となり，n=k+1n=k+1 の場合でも成立することがわかります．

これを公式解説中の式 bn−an=2Pnb_n- a_n = 2P_n と連立することにより， {an=2Pn+(−1)n+1bn=4Pn+(−1)n+1\begin{cases} a_n &= 2P_n + (-1)^{n+1}\\ b_n &= 4P_n + (-1)^{n+1} \end{cases} と表記することができました（便宜上 P0=1P_0=1 としているので， n=0n=0 の場合でもこれは成立しています）．