OMCB015(H) - なぜv_2(3^6!)に等しいか？

　一般に，相異なる素数 $p,q$ および非負整数 $n$ に対して $$\sum_{N=p^n+1}^{p^{n+1}}v_p(N)v_q(N)=v_q(p^n!)$$ が成り立つことを $n$ に関する数学的帰納法で示そう．

• $n=0$ のときは両辺とも値は $0$ となり等式が成立する．
• ある非負整数 $n$ で等式が成立すると仮定する．$p\nmid N$ のとき $v_p(N)=0$ であることに注意すると， $$\begin{aligned} \sum_{N=p^{n+1}+1}^{p^{n+2}}v_p(N)v_q(N)&=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_p(pN)v_q(pN)\\ &=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}(v_p(N)+1)v_q(N)\\ &=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_p(N)v_q(N)+\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_q(N)\\ &=v_q(p^n!)+v_q\Big(\frac{p^{n+1}!}{p^n!}\Big)\\ &=v_q(p^{n+1}!) \end{aligned}$$ より，$n+1$ のときも等式が成立する．

よって示された．
　特に本問は $p=3,q=2,n=6$ の場合である．