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OMCB011

OMCB011(E)

ABCDE‾×A=EEEEEE‾=3⋅7⋅11⋅13⋅37⋅E\overline{ABCDE}\times A=\overline{EEEEEE}=3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37\cdot E より 11⋅13⋅37∣ABCDE‾⋅A11\cdot 13\cdot 37\mid\overline{ABCDE}\cdot A だが，AA は 99 以下の正整数なので 11,13,3711,13,37 のいずれでも割り切れない．よって 11⋅13⋅37∣ABCDE‾11\cdot 13\cdot 37\mid \overline{ABCDE} であり，次を満たす正整数 kk が存在する．ABCDE‾=5291k(∗)\overline{ABCDE}=5291k\quad (*) 10000<ABCDE‾<9999910000\lt\overline{ABCDE}\lt 99999 より，2≤k≤192\leq k\leq 19 を得る．また，(∗) ( * ) の右辺の11の位は kk の 11 の位に等しいので，k=Ek=E または k=E+10k=E+10 が成り立つ．(∗) ( * ) を問題文の等式に代入して整理することで次を得る． kA=21EkA=21E

  • k=Ek=E のとき
    A=21A=21 が従い，AA が 99 以下の正整数であることに反する．
  • k=E+10k=E+10 のとき
    (E+10)A=21E⟺(21−A)(E+10)=210(E+10)A=21E\Longleftrightarrow(21-A)(E+10)=210 より (A,E)=(6,4),(7,5)(A,E)=(6,4),(7,5) を得るので，それに対応して k=14,15k=14,15 となる．k=14k=14 のとき ABCDE‾=74074\overline{ABCDE}=74074 となり不適であり，一方で k=15k=15のときABCDE‾=79365\overline{ABCDE}=79365 となり適する．

以上より ABCDE‾=79365\overline{ABCDE}=\bf79365 である．

解説YouTube