OMCB005(H)

　光線の軌跡は点 $(0,0),\left( \dfrac{22}{41} ,1\right) ,\left( \dfrac{44}{41} ,0\right)$ を頂点とする二等辺三角形と合同な三角形を並べたものを, 正方形 $OABC$ 内に「折り畳んだ」ものであることに注意する．光線が $x$ 方向に距離 $1$ だけ進むたびに線分 $AB$ または $CO$ 上の鏡で反射されて進行方向を変えること，また $x$ 方向に距離 $\dfrac{44}{41}$ だけ進むたびに線分 $OA$ 上の鏡で反射されることから，$x_n$ は以下のように書ける．ここで，$\dfrac{44}{41} n$ の整数部分と小数部分をそれぞれ $m_n,r_n$ とおく． $$x_n= \begin{cases} r_n && (m_n が偶数のとき)\\ 1-r_n && (m_n が奇数のとき) \end{cases}$$ 　$\dfrac{44}{41}=1.\dot{0} 731\dot{7}$に注意すると，$\dfrac{44}{41}\cdot 10^k$ の整数部分の偶奇および小数部分は $k$ を $5$ で割ったあまりで決定する．したがって次を得る． $$m_{10^k}\equiv \begin{cases} 1 && (k\equiv 0\mod 5)\\ 0 && (k\equiv 1\mod 5)\\ 1 && (k\equiv 2\mod 5)\\ 1 && (k\equiv 3\mod 5)\\ 1 && (k\equiv 4\mod 5) \end{cases} \pmod2,\quad r_{10^k}= \begin{cases} 3/41 && (k\equiv 0\mod 5)\\ 30/41 && (k\equiv 1\mod 5)\\ 13/41 && (k\equiv 2\mod 5)\\ 7/41 && (k\equiv 3\mod 5)\\ 29/41 && (k\equiv 4\mod 5) \end{cases}$$ よって $x_{10^k}$ を求めると次の通りである． $$x_{10^k}= \begin{cases} 38/41 && (k\equiv 0)\\ 30/41 && (k\equiv 1)\\ 28/41 && (k\equiv 2)\\ 34/41 && (k\equiv 3)\\ 12/41 && (k\equiv 4) \end{cases}$$ 以上より解答すべきは以下の計算から $\bf{2881}$ となる． $$\sum_{k=0}^{99}x_{10^k}=20\times \left(\frac{38}{41}+\frac{30}{41}+\frac{28}{41}+\frac{34}{41}+\frac{12}{41} \right)=\frac{2840}{41}$$