OMCB004(H) - 重心もオイラー線を使わない解法

　直線 $BC$ に関して，点 $A,O$ と対称な点をそれぞれ $A^{\prime}$，$O^{\prime}$ とする．
ここで，四角形 $BOCO^{\prime}$ はひし形であるから，線分 $BC,OO^{\prime}$ は直交し，中点 $M$ を共有する．
また，$\triangle A^{\prime}BC$ の外接円を $\Gamma$ とすると，$\Gamma$ は $BC$ に関して $\triangle ABC$ の外接円と対称であるから，$\Gamma$ の半径の $2$ 乗が求めるものである．
　直線 $BC,HO$ はともに $AH$ と垂直であるから，$BC \parallel HO$．
$\angle BHC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BA^{\prime}C$ より，$H$ は $\Gamma$ 上の点．
$OH$ と $\Gamma$ の交点のうち $H$ でない方を $K$ とおくと，$\angle KHA^{\prime} =180^{\circ} - \angle OHA = 90^{\circ}$ より，$KA^{\prime}$ は $\Gamma$ の直径であり，$K$ は $A^{\prime}O^{\prime}$ 上の点．
よって，直線 $KO^{\prime}$，すなわち直線 $A^{\prime}O^{\prime}$ と，直線 $BC$ の交点は，直線 $AO,BC$ の交点 $D$ に等しい．
　$MD \parallel OK, MO = MO^{\prime}$ であるから，中点連結定理より $$OK = 2MD = 2 \left( BM - BD \right) = CD - BD = 23$$ 　三平方の定理より， $$AO^2 = O^{\prime}B^2 = O^{\prime}M^2 + MB^2 = O^{\prime}M^2 + \dfrac{ \left( BD + CD \right) ^2}{4} = O^{\prime}M^2 + \dfrac {223^2}{4}$$ $$AO^2 = O^{\prime}K^2 = O^{\prime}O^2 + OK^2 = 4O^{\prime}M^2 + 23^2$$ したがって，$AO^2 = \dfrac{223^2 - 23^2}{3} = \dfrac{246 \cdot 200}{3} = \mathbf{16400}$ である．

残念ながら，大人しく重心をとった方が早いようです．