OMCB004(H)

　線分 $BC$ の中点を $M$，三角形 $ABC$ の重心を $G$ とする．
　$G,H,O$ が同一直線上にあることに気をつければ，$AH\parallel MO$ と併せて三角形 $AGH$ と $MGO$ は相似である．従って，$AH : MO = AG : GM = 2 : 1$ である．さらに，三角形 $AHO$ と三角形 $OMD$ は相似であるから，$DO=\dfrac{1}{2}AO$ である．よって，$D$ に関して $O$ と対称な点を $O^\prime$ とすれば，$OO^\prime=2DO=AO$ より $O^\prime$ は三角形 $ABC$ の外接円上に存在するので，方べきの定理より $$\dfrac{1}{2}A O\times \bigg(\frac{1}2AO+AO\bigg)=DO^\prime\times AD= BD\times CD = 100\times 123$$ であるから $AO^2=\bf16400$ である．