OMCB004(G) - 項ごとの差分を見る方法

　$$a_{n+1}-a_{n}=\sum_{k=1}^{n+1}\left(\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\right)$$ です.
ここで, 各 $k$ について,

• $\dfrac{n+1}{k}$ が整数でないとき, $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$
• $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$ は $0$ または $1$

であることが確かめられます. (厳密に確かめるには $n=kq+r$ となる非負整数 $q,r\ (r\lt k)$ をとるのが良いでしょう. )

ここから, $$\begin{aligned}\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor=\begin{cases}1&(k\mid (n+1))\\0&(k\nmid (n+1))\end{cases}\end{aligned}$$ が分かり, $a_{n+1}-a_{n}=(n+1$ の正の約数の個数$)$ が分かります.