OMCB004(G)

　曲線 $n=xy$ 上とそれよりも下にある第一象限の格子点の集合 $S$ について考える．$x=k ~ (1\leq k \leq n)$ を固定したとき，$S$ の要素は $\displaystyle\bigg\lfloor\frac{n}{k} \bigg\rfloor$ だけある．したがって，$S$ の要素の数は $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$ に等しい．
　一方で $S$ の要素の数は $xy=k ~ (1\leq k \leq n)$ を固定することでも数えられる．正整数 $k$ の正の約数の個数を $d_k$ で表せば $S$ の要素の数は $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d_k$ である．したがって次を得る． $$a_n=\sum_{k=1}^{n}d_k$$ よって $a_{n+1}=a_n+3$ は $d_{n+1}=3$ であることと同値であり，これはさらに $n+1$ が素数の $2$ 乗であることと同値である．よって求める最大値は $67^2-1=\mathbf{4488}$ である．