OMC245(E) - 等角共役による面積比を用いる解法

　$\angle{ABP}=\angle{QBC},\angle{ABQ}=\angle{PBC}$ より $PA=x$ とすると $$\begin{cases} |\triangle{CQB}|:|\triangle{PAB}|=CQ:PA=BC\cdot BQ:BP\cdot BA\\ |\triangle{CPB}|:|\triangle{QAB}|=CP:QA=BC\cdot BP:BQ\cdot BA \end{cases}$$ となり，また $\triangle{BCR}\sim \triangle{BAP}$ より $BA=\dfrac{BC\cdot BP}{BR}=\dfrac{BC\cdot BP}{8}$ なので， $$\begin{cases} \sqrt{6}:x=BC\cdot BQ:BP\cdot BA=8BQ:BP^2\\ 2\sqrt{6}:(x+\sqrt{6})=BC\cdot BP:BQ\cdot BA=8:BQ \end{cases}$$ となる．$2$ つ目の式から $BQ=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(x+\sqrt{6})$ となり，$BA=\sqrt{\dfrac{5}{3}}(x+\sqrt{6})$ となる．また $1$ つ目の式から $BP^2=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}xBQ=\dfrac{16}{3}x(x+\sqrt{6}),BA^2=BP^2-PA^2=\dfrac{x}{3}(13x+16\sqrt{6})$ となる．よって $\dfrac{5}{3}(x+\sqrt{6})^2=\dfrac{x}{3}(13x+16\sqrt{6})$ となり，これを解いて $x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ を得る．あとは適当に計算すればよい．