OMC238(F)

　直線 $MP$ と直線 $NQ$ の交点を $S$ とおくと，$R$ が存在することより $S$ は直線 $AC$ について $B$ と反対側かつ直線 $BD$ について $C$ と反対側にある．また，$SA=SB, SC=SD, AC=BD$ が成立することから, 三角形 $SAC$ と三角形 $SBD$ は合同である．よって，$\angle ASB=\angle CSD$ であるので，三角形 $SAB$ と三角形 $SCD$ は相似である．また， $$\angle SAX=\angle SAC=\angle SBD=\angle SBX$$ であるので，$4$ 点 $A, B, S, X$ は同一円周上にあり，同様に，$4$ 点 $C, D, S, X$ も同一円周上にある．以上より， $$\angle SXA=\angle SBA=\angle SAB=\angle SXD$$ であるので，直線 $SX$ は直線 $AC$ と直線 $BD$ の成す角の二等分線である．
　$SM:SN=AB:CD=7:13$ であることから，一般性を失わず $SM=7, SN=13$ とする．また，$MP:NQ=1:4$ であることから，$MP=x, NQ=4x$ とする．直線 $BS$ と直線 $AC$ の交点を $Y$，直線 $CS$ と直線 $BD$ の交点を $Z$ とおくと，Menelausの定理より以下が成立する． $$\frac{PS}{PM}=\frac{AB\times SY}{AM\times BY}=\frac{ 2SY}{BY},\quad \frac{QS}{QN}=\frac{CD\times SZ}{DN\times CZ}=\frac{2SZ}{CZ}$$ ここで，直線 $SX$ と直線 $BC$ の交点を $T$ とおくと，角の二等分線の性質より $BT:CT=BX : CX = 11:34$ である．よって，Cevaの定理より $$\frac{SP}{PM}\times \frac{BX}{XC}\times \frac{NQ}{QS}=\frac{2SY}{YB}\times \frac{BT}{TC}\times \frac{CZ}{2ZS}=1$$ が成立するので， $$\frac{7-x}{x}\times \frac{11}{34}\times \frac{4x}{13-4x}=1$$ より，$x=\dfrac{67}{46}$ がわかる．よって， $$\begin{aligned} \frac{\triangle PQR}{\triangle MNR} &=\frac{PR\times QR}{MR\times NR}\\ &=\frac{PS\times NQ}{MP\times NS}\times\frac{QS\times MP}{NQ\times MS}\\ &=\frac{(7-x)(13-4x)}{7\times 13}\\ &=\frac{42075}{96278} \end{aligned}$$ である．特に，解答すべき値は $\mathbf{138353}$ である.