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OMC237

OMC237(B)

 F(x)=f(x)2x1F(x)=f(x)-2x-1 とおくと,F(1)=F(2)=F(3)=0F(1)=F(2)=F(3)=0 なので,ある整数係数多項式 g(x)g(x) であって, f(x)=g(x)(x1)(x2)(x3)+2x+1 f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+2x+1 を満たすものがとれる.f(4)=567f(4)=567 であるから,g(4)=93g(4)=93 である.よって,ある整数係数多項式 h(x)h(x) であって, g(x)=h(x)(x4)+93 g(x)=h(x)(x-4)+93 を満たすものがとれる.以上より, f(10)=504g(10)+21=504(6h(10)+93)+21=3024h(10)+46893 f(10)=504g(10)+21=504(6h(10)+93)+21 = 3024h(10)+46893 となる.h(10)h(10) は整数であり,逆に任意の整数 nn に対して,h(x)=x10+nh(x)=x-10+n とすれば,h(10)=nh(10)=n となるため,f(10)f(10)3024n+468933024n+46893 という形の整数の整数のみ取ることができる.468931533(mod3024)46893 \equiv 1533 \pmod{3024} なので,この形の正整数で小さい方から 55 番目の値は 30244+1533=136293024 \cdot 4 + 1533=\mathbf{13629} である.

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