F(x)=f(x)−2x−1 とおくと,F(1)=F(2)=F(3)=0 なので,ある整数係数多項式 g(x) であって,
f(x)=g(x)(x−1)(x−2)(x−3)+2x+1
を満たすものがとれる.f(4)=567 であるから,g(4)=93 である.よって,ある整数係数多項式 h(x) であって,
g(x)=h(x)(x−4)+93
を満たすものがとれる.以上より,
f(10)=504g(10)+21=504(6h(10)+93)+21=3024h(10)+46893
となる.h(10) は整数であり,逆に任意の整数 n に対して,h(x)=x−10+n とすれば,h(10)=n となるため,f(10) は 3024n+46893 という形の整数の整数のみ取ることができる.46893≡1533(mod3024) なので,この形の正整数で小さい方から 5 番目の値は 3024⋅4+1533=13629 である.
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