ユーザー解説 by ykymst
(m,n)=(2tanα,3tanβ)(α,β∈(0,π2))\left(m, n\right)=\left(2\tan\alpha, 3\tan\beta\right) \left(\alpha, \beta \in \left(0, \frac\pi 2\right)\right)(m,n)=(2tanα,3tanβ)(α,β∈(0,2π)) とおいて与式に代入して整理すると, (与式)=sin(2(α+β)) \text(与式) = \sin \left(2(\alpha+\beta)\right) (与式)=sin(2(α+β)) となる. よって, 与式が正の整数となるのは α+β=π4\alpha+\beta=\frac\pi 4α+β=4π のときのみで, このとき tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1 \tan \left(\alpha+\beta \right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1 tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ=1 に tanα=m2,tanβ=n3\tan\alpha=\frac m 2, \tan\beta=\frac n 3tanα=2m,tanβ=3n を代入して整理すると mn−3m−2n−6=0mn-3m-2n-6=0mn−3m−2n−6=0 を得る.