OMC232(A) - さらに考察

　ここでは一次関数 $f$ を一般に $f(x) = ax + b$ とおき，もう少し詳しく考察してみましょう．ただし $b$ は実数とし，$a$ は $1$ でない正の実数とします．このとき $f$ の $n$ 回合成を表す $xy$ 平面上の直線 $y = f^n(x)$ は，合成回数を増やすたびにどのように変化するでしょうか．

　$f$ によって値が変わらない実数，すなわち $f(x) = x$ なる $x$ を求めると $$x = - \frac{b}{a - 1}$$ が得られる．したがって，$xy$ 平面における直線 $y = f(x)$ は点 $\left (- \dfrac{b}{a - 1}, - \dfrac{b}{a - 1} \right )$ を通過する（以後この点を $P$ と呼ぶ）．このことが分かるよう，$f(x)$ を以下の形に変形しよう． $$f(x) = a \left ( x + \dfrac{b}{a - 1} \right ) - \dfrac{b}{a - 1} \tag{1}$$ すると任意の正整数 $n$ に対し，$f^n (x)$ は $$f^n(x) = a^n \left ( x + \dfrac{b}{a - 1} \right ) - \dfrac{b}{a - 1} \tag{2}$$ と表されることが帰納法により簡単に示すことができる．

　要するに $f$ の合成回数 $n$ を $1$ から順に増やしていくと，直線 $y = f^n(x)$ は点 $P$ を中心として回転するように傾きが $a \rightarrow a^2 \rightarrow a^3 \rightarrow \cdots$ と変化する．特に $n_1 \neq n_2$ なる $2$ つの正整数 $n_1, n_2$ に対し，$2$ 直線 $y = f^{n_1}(x), y = f^{n_2}(x)$ のそれぞれの傾き $a^{n_1}, a^{n_2}$ は異なっているため，これらは平行でなく共有点は点 $P$ ただ一つである（ちなみに公式解説で $f^{10}(x), f^{401}(x)$ が関数として相異なると述べているが，この議論の通りそもそも傾きが等しくない）．このことから，方程式 $$f^{n_1}(x) = f^{n_2}(x)$$ の解が $x = - \dfrac{b}{a - 1}$ のみであることもわかる．