OMC230(C) - 三平方の定理を用いて立式する方法

　公式解説と同様に三角形 $ABP, DCP$ の外接円をそれぞれ $\Gamma_1, \Gamma_2$ とおく．すると，$\Gamma_1, \Gamma_2$ はいずれも直線 $AD$ に接するため，$\angle FAO_1 = \angle FDO_2 = 90^\circ$ が従う．また，$\angle FEO_1 = \angle FEO_2 = 90^\circ$ も容易に分かる．これより，三角形 $FAO_1, FEO_1$ に三平方の定理を適用することで， $$FA^2 + {AO_1}^2 = FE^2 + {EO_1}^2 ( = {FO_1}^2)$$ が得られる．これより，$FE^2 - FA^2 = {AO_1}^2 - {EO_1}^2$ が従う．また，$AO_1 = PO_1$ であり，かつ $\angle PEO_1 = 90^\circ$ であることから，三角形 $PEO_1$ に三平方の定理を適用することで，${AO_1}^2 - {EO_1}^2 = {PO_1}^2 - {EO_1}^2 = PE^2 = 81$ が従う．よって，$FE^2 - FA^2 = 81$ が得られる．同様に考えて， $$FE^2 - FD^2 = {DO_2}^2 - {EO_2}^2 = {PO_2}^2 - {EO_2}^2 = PE^2 = 81$$ も分かる．よって，$FA = FD = 40$ が分かり，$FE = 41$ が従う．