OMC229(D) - 点Fとは別の補助点

　$BE$ と円 $ABC$ の交点を $X$ とおく．
　$\triangle ABD \sim \triangle AEB$ より $AB=4 \sqrt{30}$ である．
　角度追跡より $\triangle DAC \sim \triangle AXB$ を得る．よって $CD=t$ とおくと $BX=\dfrac{\sqrt{30}}{5}t$ である．また方べきの定理より $BC=\dfrac{400}{t}-t$ である．
　さて，円 $\Omega$ と円 $BCD$ が接することとから $\triangle BCX \sim \triangle BDE$ であり，その相似比は $BC:BX=BD:BE=\sqrt{5}:\sqrt{6}$ である．
　方程式 $\dfrac{400}{t}-t：\dfrac{\sqrt{30}}{5}t =\sqrt{5}:\sqrt{6}$ を解けば $t=10 \sqrt{2}$ を得る．$\triangle ABC$ の三辺の長さが求まるので，あとは面積を求めればよい．