OMC229(F)

　角の二等分線の性質より $$AB = 101x,\quad AC =313x\quad BD = 101y,\quad CD=313y$$ であるような正の実数 $x,y$ がある．条件から $101x, 313x$ が整数なので $313x - 303x = 10x$ も整数で，$101x - 10x\cdot 10 = x$ も整数である．同様に $y$ も整数である．また，$\angle A$ の二等分線の長さは $\sqrt{AB\cdot AC - BD\cdot BC}$ で与えられるので $$d^2 = 101x \cdot 313x - 101y \cdot 313y = 101\cdot 313 (x-y)(x+y)$$ となる．$101, 313$ は素数なので，$d$ は $101\cdot 313$ の倍数である．正の整数 $n$ によって $d = 101\cdot 313 n$ とおくと $$101\cdot 313 n^2 = (x-y)(x+y)$$ となる．また，三角形 $ABC$ の三角不等式より $$313x \lt 101x + 414y,\qquad 414y \lt 101x + 313x$$ なので $y\lt x$ かつ $212x \lt 414y$ となる．よって，次の集合 $S_n$ の要素が $4$ 個であるような $n$ を求めればよい． $$S_n = \{ (x,y) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \mid 101\cdot 313\cdot n^2 = (x-y)(x+y),\, 106x \lt 207y \}$$

補題． 正の整数からなる集合 $T_n$ を $$T_n = \{ k \in \mathbb{N} \mid k \ は \ 101\cdot 313\cdot n^2 の正の約数 ,\quad k \lt 101n, \quad k \equiv \frac{101\cdot 313 \cdot n^2}{k} \pmod{2} \}$$ によって定めると，$S_n$ から $T_n$ への全単射 (一対一対応) が存在する．特に $|S_n| = |T_n|$ である．

　これより，$|T_n| = 4$ であるような $n$ の条件を調べればよい．$n$ が小さい範囲では $$\begin{aligned} |T_1| &= |\{ 1 \}| = 1, \\ |T_2| &= |\{ 2 \}| = 1, \\ |T_3| &= |\{1,3,9,101 \}| = 4, \\ |T_4| &= |\{ 2, 4, 8, 202\}| = 4 \end{aligned}$$ なので $n=3, 4$ が適する．以降は $n\geqq 5$ で考える．

Case 1． $n$ が $5$ 以上の奇数であるとき
　このとき，すべての $n$ で $1,101,313, n\in T_n$ である（$313 \lt 101n$ に注意）．$n$ が素数でないと仮定すると，これら $4$ つの要素は相異なる．これに加え， $n$ の任意の素因数 $p$ に対して $p, 101p\in T_n$ だから，$|T_n| = 4$ による重複を考えることで $$(p,n) = (101, 101^2),\quad (313, 101\cdot 313)$$ のいずれかである必要がある．しかし，いずれのパターンも $313p \in T_{n}$ かつ $313p \not\in \{ 1, 101, 313, n \}$ となるため不適である．
　よって 奇数 $n \gt 5$ が素数でないときは常に $|T_{n}|\geqq 5$ となる．一方で $n$ が奇素数のとき，いくつかの初等的な不等式を解くことで $|T_{n}|$ は以下のように決定される．

• $5\leqq n\leqq 97$ のときは $T_n = \{ 1, 101, 313, n, n^2\}$．
• $n=101,313$ のときは $T_n = \{ 1,101,313 \}$．
• $103\leqq n\leqq 311$ のときは $T_n = \{1, 101, 313, n\}$．
• $317\leqq n$ のときは $T_n = \{1, 101, 313, n, 101\cdot 313\}$

これより， $$|T_{n}|= \begin{cases} 3 & (n = 101, 313)\\ 4 & (103 \leqq n \leqq 311)\\ 5 & (5\leqq n\leqq 97,\quad 317\leqq n) \end{cases}$$ であるから，条件に該当するのは $103$ 以上 $311$ 以下の素数であり，素数表から $38$ 個あるとわかる．

Case 2． $n$ が $6$ 以上の偶数であるとき
　もし $n$ が $4$ の倍数ならば $2, 4, 8, 202, 404 \in T_n$ なので不適 $(n\geqq 8$ から $626 \lt 101n$ に注意$)$．よって奇数 $r$ によって $n=2r$ と書ける．$T_{2r}$ の要素は必ず偶数になるのでそれを $2k$ とおくと， $k$ は $101\cdot 313\cdot r^2$ の正の約数で $k \lt 101r$ を満たす．よって，写像 $$T_{2r}\ni 2k \mapsto k \in T_{r}$$ は全単射なので， Case 1 の議論および $|T_{3}| = 4$ から，$r=3$ または $103\leqq r\leqq 311$ を満たす素数 $r$ のみが $|T_{2r}| = 4$ をみたす．

　以上より，条件を満たす $d$ は $$d = 101\cdot 313 \cdot n,\quad n\in \{ 3,4,6\} \cup \{ r, 2r \mid r は素数で 103 \leqq r\leqq 311 \}$$ となるので，求める個数は $3+38\times 2= \mathbf{79}$ 個．