OMC227(F)

　円 $ABC$ の弧 $BAC$ の中点を $E$ とし，円 $EIN$ と直線 $BN$ の交点を $F(\neq N)$ とする． $$\angle EAI=\angle EBN,　\angle EIA=\angle EFN$$ より，三角形 $EAI$ と三角形 $EBF$ は相似．また，$EB=EC, AB=DC$ かつ $\angle EBA=\angle ECD$ より三角形 $EAB$ と $EDC$ は合同なので，三角形 $EAD$ と $EBC$ は相似である．したがって，四角形 $EAID$ と $EBFC$ は相似である．また，三角形 $EIN$ の外接円は，$N$ を中心とし半径 $NI$ の円（円 $IBC$）で反転すると直線 $IM$ に移るので， $$NB^2 = NC^2=NI^2=NF×NP$$ が成り立つ．よって，三角形 $NCF$ と $NPC$ は相似だから， $$\angle NCP=\angle NFC=\angle AID=\angle NIB=\angle NBI$$ が成り立つ．いま，直線 $BI$ と円 $ABC$ の交点を $G (\neq B)$ とすると， $$\angle GCN+\angle NCP=180^{\circ}-\angle NBI+\angle NCP=180^{\circ}$$ より，$G, C, P$ は同一直線上にある．$BI=a, ~ IG=b$ とおくと，Menelaus の定理より $$\dfrac{BI}{IG}×\dfrac{GP}{PC}×\dfrac{CM}{MB}=1$$ だから，$GC:CP=(b-a):a$ である．よって， $$GP=GC×\left(1 + \dfrac{a}{b-a} \right)=GI×\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{b^2}{b-a}$$ が成り立つ．いま，$\angle BGN=\angle CGN$ より $GB:GP=NB:NP=5:9$ が成り立つから，$b=\dfrac{3}{2}a$ を得る．したがって，$PC×PG=PN×PB$ より $BI^2=a^2=\dfrac{28}{3}$ を得る．解答すべき値は $\textbf{31}$ である．