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OMC227

OMC227(D) - 公式解説とは別の文字の置き方

ユーザー解説 by Tempurabc

　公式解説の x,y,zx,y,z の置き方は，やや特殊に見えるので，より自然な置換でも解けることを記しておく．
　a−b=xa-b=x，b−c=yb-c=y，c−d=zc-d=z とおくと，文字が一つ減って見通しが良くなりそうだ．しかし (a−c)2+(b−d)2(a-c)^2+(b-d)^2 があまり綺麗になってくれない．そこで a−c=xa-c=x，c−b=yc-b=y，b−d=zb-d=z という置換を考えてみよう．このとき，問いは次のように書き換えられる．

問．整数 x,y,zx,y,z が以下の式を満たすとき，x2+z2x^2+z^2 が取りうる 500500 以下の正整数値の総和を求めよ． x2+y2+z2+(x+y)2+(y+z)2+(x+y+z)2=9000x^2+y^2+z^2+(x+y)^2+(y+z)^2+(x+y+z)^2=9000

　左辺を展開すると 3x2+4y2+3z2+4xy+4yz+2zx=90003x^2+4y^2+3z^2+4xy+4yz+2zx=9000 となる．xx と zz を対称的に扱いたいので，yy について降べきの順に整理しよう．さらに式をよく見ると，次のような式変形が考えられる． 4y2+4(x+z)y+3x2+3z2+2zx=4y2+4(x+z)y+(x+z)2+2(x2+z2)=(2y+x+z)2+2(x2+z2)\begin{aligned} & 4y^2+4(x+z)y+3x^2+3z^2+2zx \\ &=4y^2+4(x+z)y+(x+z)^2+2(x^2+z^2) \\ &= (2y+x+z)^2+2(x^2+z^2) \end{aligned} 　x2+z2≤500x^2+z^2 \leq 500 より (2y+x+z)2≥8000(2y+x+z)^2 \geq 8000 である．あとは 2y+x+z=90,92,942y+x+z=90, 92, 94 の場合について，適当な x,zx,z 組が存在するかを検証すればよい．