OMC227(D)

$$\begin{aligned} x&=a+b-c-d, &y&=a-b+c-d, \\ z&=a-b-c+d, &N&=(a-c)^2+(b-d)^2 \end{aligned}$$ とおくと，$x, y, z$ の偶奇は等しく，条件式は以下のように表される. $$x^2+y^2+z^2=9000,　\dfrac{1}{2}(x^2+z^2)=N　(N \leq 500)$$ すなわち，以下を満たす整数 $x, y, z$ の組が存在すれば良い. $$y^2=9000-2N,　x^2+z^2=2N$$ 第一式から，$y$ は偶数とわかるので， $$(y^2, 2N) = (90^2, 900), (92^2, 536), (94^2, 164)$$ が候補となる．このうち $2N$ が $2$ つの整数の平方和として表せるのは $2N=900, 164$ のときのみであるので，解答すべき値は $$450 + 82 = \mathbf{532}$$ である．